∞⁰ = ∞, 1 ή απροσδιόριστο. Ποιο είναι;

Πριν από λίγες μέρες έγραψα ένα άρθρο για το Ramanujan Summation, το οποίο για να κόψω μια μακρά ιστορία είναι μια μαθηματική σειρά που μοιάζει με αυτό:

Εάν θέλετε να διαβάσετε το άρθρο, κάντε κλικ εδώ. Αποδεικνύω αυτό το γεγονός στο άρθρο μαζί με δύο άλλες εξίσου ενδιαφέρουσες εξισώσεις. Αυτό είναι στην πραγματικότητα που έπεσα στην ιδέα για αυτό το ίδιο το άρθρο. Μετά τη δημοσίευση του Ramanujan Summation, πήρα ένα σχόλιο σχετικά με τη χρήση της μεταλλακτικότητας ενός απείρως μετρήσιμου σετ. Το Commutativity είναι η ιδέα ότι εάν έχετε 1 + 2 + 3, η αναδιάταξη των όρων δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Έτσι 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, μπορείτε αλλά οι όροι με οποιαδήποτε σειρά και η απάντηση θα είναι πάντα 6. Θα χρησιμοποιήσω αυτήν την ιδιότητα για να αποδείξω την παραπάνω εξίσωση στο άλλο άρθρο μου, αλλά η forceOfHabit έφερε ένα ενδιαφέρον σημείο, αυτό ισχύει για ένα άπειρο σύνολο αριθμών;

«Είναι διαισθητικά προφανές ότι υπάρχουν δύο φορές περισσότεροι θετικοί ακέραιοι από και θετικοί ακέραιοι. Αλλά αν πάρουμε την ακολουθία των θετικών ακέραιων και πολλαπλασιάσουμε τους όλους με 2, παίρνουμε την ακολουθία ακόμη και των θετικών ακέραιων αριθμών. Αλλά πολλαπλασιάζοντας κάθε μέλος της ακολουθίας με 2 δεν αλλάζει τον αριθμό των μελών. Υπάρχει λοιπόν ακριβώς ο ίδιος αριθμός θετικών ακέραιων με τους θετικούς ακέραιους αριθμούς. Ποιο είναι λοιπόν; Δύο φορές περισσότερο ή τον ίδιο αριθμό; " - forceOfHabit

Και ειλικρινά, δεν ήξερα την απάντηση σε αυτό. Αλλά είχε κορυφώσει το ενδιαφέρον μου, γι 'αυτό αποφάσισα να το ερευνήσω λίγο περισσότερο. Έκανα μια σκουλήκι Wikipedia μέσω διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών, μαθαίνοντας μερικά ενδιαφέροντα γεγονότα στην πορεία, και κατέληξα στο καρδινάλιο. Το Cardinality ασχολείται με τα σύνολα και είναι πώς θα περιγράφατε τον αριθμό των στοιχείων σε ένα σύνολο. Για παράδειγμα, το σύνολο {1,2,3} έχει 3 στοιχεία ή μια καρδινιλότητα 3.

Χρησιμοποιώντας την καρδινιλότητα, μπορούμε να αρχίσουμε να αντιμετωπίζουμε τις παραπάνω ερωτήσεις. Έρευνα λίγο πιο πέρα ​​και βρήκα ένα ενδιαφέρον μέρος της καρδινιάς που ονομάζεται Cardinal Arithmetic που είναι αριθμητικές πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν σε καρδινάλους αριθμούς που γενικεύουν τις συνηθισμένες λειτουργίες για φυσικούς αριθμούς. Για να το θέσουμε σε lamens όρους, είναι ένα ειδικό σύνολο λειτουργιών που λειτουργούν ειδικά για καρδινάλους αριθμούς, καθένας με τον δικό του ορισμό. Για παράδειγμα, εάν έχετε δύο σύνολα A και B με καρδινιόντες 3 και 4 αντίστοιχα, τότε το δηλώνουμε ως | A | = 3 και | B | = 4. Τότε | Α | + | Β | = | Α ∪ Β |. Φυσικά, αυτό είναι το ίδιο με την προσθήκη αριθμητικών τιμών | A | και | B |, το γεγονός ότι ορίζεται με αυτόν τον τρόπο δείχνει πώς υπάρχουν αριθμητικές πράξεις που μπορούν να δημιουργηθούν για συγκεκριμένα σύνολα (υπό την προϋπόθεση ότι η λειτουργία πληροί ορισμένα κριτήρια).

Χρησιμοποιώντας την βασική αριθμητική, έχει αποδειχθεί όχι μόνο ότι ο αριθμός των σημείων σε μια πραγματική γραμμή αριθμού είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων σε οποιοδήποτε τμήμα αυτής της γραμμής. Ακούγεται πολύ αντίθετο, αλλά και πάλι, έτσι είναι και η παραπάνω ερώτηση, γι 'αυτό και θέλω να πιστεύω ότι είναι παρόμοια. Προφανώς, αυτό δεν είναι σε καμία περίπτωση επίσημη ή ακόμη και έγκυρη απόδειξη, αλλά θα έλεγα ότι αν τα θεωρήσετε με την ίδια έννοια, τότε η απάντηση στην ερώτηση forceOfHabit είναι η επιλογή β. τον ίδιο αριθμό ακέραιων αριθμών.

Αλλά από την άλλη πλευρά, μπορεί να είμαι εντελώς λάθος, και αυτή είναι η αμηχανία του απείρου. Υπάρχουν τόσα πολλά που δεν είναι γνωστά γι 'αυτό γιατί είναι απλώς μια ιδέα. Δεν υπάρχει τρόπος μέτρησης του άπειρου, διότι εξ ορισμού δεν είναι μετρήσιμο και ότι από μόνο του είναι μια δύσκολη ιδέα για να τυλίξετε το κεφάλι σας. Νομίζω ότι ο καθηγητής του μαθηματικού του 1ου έτους συνόψισε το άπειρο αρκετά καλά: «Μισώ το άπειρο. Δεν είναι ένας αριθμός, αλλά το αντιμετωπίζουμε σαν ένα, αλλά δεν πρέπει. Είναι μια έννοια, όχι μια μαθηματική αξία, οπότε αν κάποιος από εσάς το χρησιμοποιείτε ως τέτοιο, μπορείτε επίσης να παραλείψετε το μάθημα! "

Τώρα για τον αγαπημένο μου αριθμό σε ολόκληρο τον κόσμο. Ρωτάτε σε κάποιον ποιον είναι ο αγαπημένος του αριθμός (αφού τελειώσει ο μικρός λόγος για τον καιρό φυσικά) και πιθανότατα θα πουν κάτι που σχετίζεται με γενέθλια ή έναν τυχερό αριθμό που πιστεύουν. Αλλά ρωτήστε με και θα σας πω 0. Δεν είναι τυχερός αριθμός, ούτε γενέθλια ή επέτειος, αλλά είναι μακράν το πιο ενδιαφέρον για μένα.

Για αρχάριους, έχει μια τιμή, αλλά καμία τιμή. Εάν το προσθέσετε σε άλλο αριθμό, παραμένει το ίδιο. Αφαιρέστε το, παραμένει το ίδιο. Αλλά όταν το πολλαπλασιάζετε, παίρνετε 0, ανεξάρτητα από το τι πολλαπλασιάζετε.

1 x 0; 0

123456789876543212345678987654321 x 0; 0

Και όταν το διαιρέσετε, παίρνετε 0 ανεξάρτητα από τον παρονομαστή του (αριθμός 1, μείνετε συντονισμένοι για αυτό). Το 0/1234 παραμένει μηδέν

Αλλά όταν κάνετε καταδύσεις με μηδέν, παίρνετε κάποια πραγματικά παράξενα πράγματα. Μιλάω για αποφυγή τρελών στο επίπεδο του πίνακα. Όποιος έχει λάβει μια τάξη άλγεβρας ξέρει ότι δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, επειδή είναι απροσδιόριστο. Το κατηγοριοποιούμε ως ακαθόριστο, επειδή εάν προσπαθείτε να διαιρέσετε το 6 με μηδέν, είναι ανάλογο να κάνετε την ερώτηση "Ποιες φορές 0 είναι ίσες με έξι;" Γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει αριθμός για να το ικανοποιήσουμε, έτσι η διαίρεση με το μηδέν δεν ακολουθεί τους κανονικούς κανόνες διαίρεσης. Ως εκ τούτου, το αγνοούμε. Αλλά, αν ξεχάσουμε αυτόν τον κανόνα για ένα δευτερόλεπτο, η διαίρεση με το μηδέν μπορεί να γίνει ένα πολύ τακτοποιημένο εργαλείο για να «αποδείξει» εντελώς γελοία πράγματα. Για παράδειγμα:

Αφήστε α = β. Τότε
a² = αβ
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) # Το μαγικό βήμα εμφανίζεται εδώ
2 = 1

Ορίστε, απλώς απέδειξα ότι 2 = 1 και έσπασα τα μαθηματικά! Ο λόγος για τον οποίο λειτουργεί αυτό οφείλεται στο μαγικό βήμα, διαιρώντας και τις δύο πλευρές με a² - ab, αλλά αν κοιτάξετε την αρχική δήλωση, a = b, έτσι a = = ab, με άλλα λόγια a² - ab = 0. Αυτό είναι διαίρεση με μηδέν, το οποίο είναι απροσδιόριστο για αυτόν τον ακριβή λόγο. Γι 'αυτό και οι μαθηματικοί το αποφεύγουν όπως η πανούκλα.

Ευτυχώς είναι η τρίτη επιλογή. Θα μπορούσα να εξετάσω πώς όταν είναι με τη μορφή ορίου, είναι μια απροσδιόριστη μορφή, αλλά νομίζω ότι ένας γνωστός φίλος από την Apple το περιγράφει καλύτερα:

«Φανταστείτε ότι έχετε 0 cookie και τα μοιράζετε ομοιόμορφα σε 0 φίλους. Πόσα cookie παίρνει κάθε άτομο; Βλέπετε, δεν έχει νόημα. Και το Cookie Monster είναι λυπηρό που δεν υπάρχουν cookies. Και λυπάσαι που δεν έχεις φίλους. " - Siri (πραγματικά, δοκιμάστε να ρωτήσετε τη Siri "τι 0 διαιρείται με 0;")

Μια πιο περίπλοκη ερώτηση που περιλαμβάνει μηδέν, τι είναι 0⁰; Λοιπόν εξ ορισμού, εάν έχετε τη δύναμη του b, τότε το αποτέλεσμα θα πολλαπλασιαζόταν από μόνος του b φορές. Άρα πρέπει να είναι μηδέν, σωστά; Επειδή οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος με μηδέν είναι μηδέν. Αλλά γνωρίζουμε επίσης ότι a⁰ = 1 (για όλα τα ≠ 0), οπότε ίσως πρέπει να είναι 1; Ή μήπως πρέπει να είναι απροσδιόριστο σαν διαίρεση με 0; Αυτό έχει συζητηθεί εδώ και πολύ καιρό στα μαθηματικά, και υπάρχουν επιχειρήματα και για τις δύο πλευρές ως προς το ποια πρέπει να είναι η πραγματική απάντηση. Υπάρχει ένας ενδιαφέρων ιστότοπος εδώ που δίνει επιχειρήματα και για τις δύο πλευρές, αλλά οι κύριοι έχουν ως εξής: Στο 0 On θα πρέπει να είναι απροσδιόριστο, έχουμε:

  1. Γνωρίζουμε a⁰ = 1 (για όλα a ≠ 0), αλλά a⁰ = 1 (για όλα a> 0). Αυτή η αντίφαση σημαίνει ότι το 0⁰ πρέπει να είναι απροσδιόριστο

Από την πλευρά 0⁰ = 1, έχουμε:

  1. Για να διατηρηθεί το διωνυμικό θεώρημα για το x = 0, χρειαζόμαστε 0⁰ = 1
  2. Το 0⁰ αντιπροσωπεύει το άδειο προϊόν (ο αριθμός των συνόλων 0 στοιχείων που μπορούν να επιλεγούν από ένα σύνολο στοιχείων 0), το οποίο εξ ορισμού είναι 1 (αυτός είναι επίσης ο ίδιος λόγος για τον οποίο οτιδήποτε άλλο αυξάνεται στη δύναμη του 0 είναι 1).

Λοιπόν, ποια είναι η απάντηση; Λοιπόν, δεν έχουμε ακόμα συγκεκριμένη απάντηση. Οι περισσότεροι άνθρωποι θα συμφωνούσαν ότι είναι απροσδιόριστο (δεδομένου ότι η συνάρτηση δύο μεταβλητών δεν είναι συνεχής στην αρχή). Αλλά και οι δύο πλευρές έχουν βάσιμα επιχειρήματα, και έως ότου κάποιος μπορεί να βρει μια συγκεκριμένη απόδειξη που ισχυρίζεται ότι το ένα ή το άλλο, είναι πραγματικά αδύνατο να ισχυριστεί κανείς εάν είναι αλήθεια.

Τώρα ίσως αναρωτιέστε τι θα συμβεί εάν συνδυάσετε τα δύο. Τι είναι ∞ x 0; Τι λέτε ∞⁰; Λοιπόν το πρόβλημα επιστρέφει στο άπειρο, καθώς είναι απλώς μια ιδέα. Δεν υπάρχει τρόπος να το μετρήσετε, δεν μπορείτε να έχετε έναν άπειρο αριθμό κομμουνιστικών αρκούδων ή μια απεριόριστη ποσότητα παγωτού (αν και είμαι βέβαιος ότι όλοι επιθυμούμε να μπορούσαμε).

Τις περισσότερες φορές, η απάντηση είναι απροσδιόριστη. Αυτά είναι όλα παραδείγματα ερωτήσεων που δεν έχουν απάντηση, γιατί δεν μπορούμε να δώσουμε μια σημαντική αξία σε μια έννοια όπως το άπειρο. Φυσικά υπάρχει η περίεργη εξαίρεση, όπως το 0 ^ ∞, το οποίο έχει ένα είδος τιμής 0. Εάν πάρετε το όριο του 0 ^ n καθώς το n τείνει στο άπειρο, είναι μηδέν. Αλλά αυτές είναι σπάνιες περιπτώσεις, και ακόμη και τότε το 0 ^ ∞ τεχνικά δεν είναι ίσο με το 0, πλησιάζει πολύ πολύ.

Βλέπετε, το άπειρο είναι ένα πολύ ενδιαφέρον πράγμα γιατί είναι τόσο απτό και τόσο αφηρημένο ταυτόχρονα. Το βλέπετε συνεχώς σε μαθηματικά εγχειρίδια και εξισώσεις, αλλά δεν έχουμε ακόμη συγκεκριμένο ορισμό ή αξία για το τι είναι.

Το Zero είναι απίστευτο γιατί κάνει το δικό του πράγμα. Μερικές φορές του αρέσει να παίζει σύμφωνα με τους κανόνες, μερικές φορές κάνει το δικό του πράγμα και περιστασιακά κλειδώνει σε ένα δωμάτιο και αρνείται να συνεργαστεί με κανέναν.

Και οι δύο έχουν τις δικές τους ιδιότητες εξαργύρωσης, οι οποίες είναι πολύ χρήσιμες στον τομέα των μαθηματικών. Έχουν επίσης τις δικές τους ιδιορρυθμίες, οι οποίες μπορεί να είναι χρήσιμες και μερικές φορές, και πόνο στην άκρη σε άλλους. Αλλά ενώ αυτό είναι μόνο ένα από τα γεγονότα της ζωής, είναι η αμηχανία του απείρου και το μηδέν.