10 δύσκολες στιγμές στην ιστορία των μαθηματικών

Όλοι έχουμε βιώσει τις δύσκολες στιγμές μας. Κάτι απροσδόκητο συμβαίνει, υπάρχει κάποια κοινωνική ένταση και μια προσωπική ανησυχία και θα θέλατε πραγματικά να το ξεπεράσετε ή να ξεχάσετε ότι συνέβη ποτέ. Τι γίνεται όμως αν είστε ένας αυστηρός μαθηματικός και απλώς αποδείχτηκε ο κόσμος σας;

Τα μαθηματικά ήταν πάντα η επιδίωξη της κατανόησης του κόσμου μέσω της λογικής και της έκφρασής του σε μια αυστηρά καθορισμένη, μαθηματική γλώσσα. Είναι πραγματικά ενδεικτικό, εκπαιδευτικό και διασκεδαστικό, να παρατηρούμε τα μαθηματικά όταν σταμάτησε (στιγμιαία) να έχει νόημα.

1. Η ανακάλυψη παράλογων αριθμών

Η Σχολή Αθηνών, που απεικονίζει, μεταξύ σχεδόν όλων των πιθανών αρχαίων Ελλήνων φιλόσοφων, τον Πυθαγόρα στην αριστερή γωνία

Καθώς η προέλευση της μαθηματικής αυστηρότητας βρίσκεται στην αρχαία Ελλάδα, η μαθηματική σκέψη ξεκίνησε κοντά στις θρησκευτικές πεποιθήσεις, και έτσι οι αριθμοί αποδόθηκαν θεϊκά χαρακτηριστικά.

Η Σχολή του Πυθαγόρα, μια απόκρυφη ομάδα πρώιμων μαθηματικών που προωθούσε τη μαθηματική γνώση προς τα εμπρός, όπως όλες οι λατρείες, βασίστηκε σε κάποιες φονταμενταλιστικές πεποιθήσεις. Έκπληκτοι από την εφαρμογή των αναλογιών σε κάθε πρακτικό πρόβλημα, πίστευαν ότι οι λόγοι (ναι, απλοί διαιρεμένοι αριθμοί) είναι θεϊκοί, καθώς μπορούν να εξηγήσουν οτιδήποτε συμβαίνει στον κόσμο.

Κατά συνέπεια, όλα όσα συμβαίνουν στον κόσμο πρέπει να μπορούν να εκφραστούν ως αναλογία, σωστά;

Τώρα, φανταστείτε την έκπληξή τους όταν ανακάλυψαν την τετραγωνική ρίζα των 2, εφαρμόζοντας το νεοσυσταθέν Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αυτός ο παράλογος αριθμός (παράλογο νόημα ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως η αναλογία δύο αριθμών) αψηφούσε την παγκόσμια τάξη όπως εκφράστηκε από τη θεότητα των αναλογιών και αμφισβήτησε ολόκληρη τη φιλοσοφία τους.

Τρομοκρατημένοι από τις συνέπειες αυτής της επαναστατικής ανακάλυψης, αποφάσισαν να μην το πουν σε κανέναν. Λέγεται επίσης, ότι πνίγηκαν ακόμη και ο άνθρωπος που έκανε την ανακάλυψη, τον Ιππάσο. Ήσυχο επιστημονικό, δεν νομίζετε;

2. Άπειρο

Η ανακάλυψη των παράλογων αριθμών, που ήταν ήδη άσχημα όπως ήταν, έφερε τους Έλληνες μπροστά σε μια πιο τρομακτική ανακάλυψη: το άπειρο. Καθώς οι παράλογοι αριθμοί χαρακτηρίζονται από τον άπειρο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, οι Έλληνες έπρεπε να βρουν μια εξήγηση για το πώς μπορεί να δημιουργηθεί μια ατελείωτη σειρά αριθμών. Η έννοια του άπειρου είναι δύσκολο να κατανοηθεί σήμερα, πόσο μάλλον μια εποχή που η θρησκεία συνδέθηκε με την επιστήμη και μια μαθηματική πίστη δεν πρέπει να αμφισβητεί την κατανόησή μας για τον Θεό. Τι έκαναν λοιπόν οι Έλληνες; Οι φιλόσοφοι, όπως ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας, απέρριψαν την έννοια του απόλυτου άπειρου και οι μαθηματικοί βρήκαν εφευρετικούς τρόπους για να παρακάμψουν την ανάγκη για άπειρο στη γεωμετρία, όπως ο Eudoxus του Cnidus που ανέπτυξε τη μέθοδο εξάντλησης για τον υπολογισμό της περιοχής των σχημάτων. Μόνο στα τέλη του 17ου αιώνα, ο Νεύτωνας και ο Λίμπνιτς ενθάρρυναν να λάβουν υπόψη το άπειρο μέσω της χρήσης των infinitesimals και ο John Wallis εισήγαγε το γνωστό σύμβολο του απείρου το 1655.

3. Τα παράδοξα του Zeno

Οι Έλληνες σίγουρα πήγαν στα άκρα όσον αφορά τη φιλοσοφική συλλογιστική.

Αφού ο προκάτοχός του Ηράκλειτος ισχυρίστηκε ότι τα πάντα στον κόσμο αλλάζουν συνεχώς, ο Παρμενίδης ισχυρίστηκε ότι τίποτα δεν αλλάζει. Ως αποτέλεσμα, η κίνηση είναι μια απλή ψευδαίσθηση και επομένως, χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά, τη γλώσσα της αλήθειας σύμφωνα με τους Έλληνες, για να το περιγράψουμε θα πρέπει να είναι αδύνατο.

Ο Ζήνο, ένας από τους μαθητές του Παρμενίδη, επινόησε μια σειρά παράδοξων με σκοπό να αποδείξει τον παράλογο κίνημα. Ο πιο διάσημος, ο Αχιλλέας και η χελώνα του, μοιάζει με αυτό: Ο Αχιλλέας αγωνίζεται με μια χελώνα, η οποία είναι πολύ πιο αργή, έχει το πλεονέκτημα να ξεκινήσει τον αγώνα 100 μέτρα μπροστά του.

Αν υποθέσουμε, για το κούνημα της απλότητας, ότι οι ταχύτητες των δύο διαγωνιζόμενων είναι σταθερές και ο Αχιλλέας είναι 10 φορές πιο γρήγορος από την χελώνα, τότε μπορούμε να πούμε ότι όταν ο Αχιλλέας φτάσει στο σημείο εκκίνησης της χελώνας, αυτό θα έχει τρέξει 10 μέτρα. Έτσι, ο Αχιλλέας θα προσπαθήσει να καλύψει τη διαφορά και μέχρι να φτάσει σε αυτό το επόμενο σημείο, η χελώνα θα έχει μετακινηθεί επιπλέον ένα μέτρο.

Αυτό το μαθηματικό λύκειο, που είναι τόσο απλό και ξεκάθαρο, μας οδηγεί στο ακόλουθο παράδοξο συμπέρασμα: Ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ στην χελώνα, ανεξάρτητα από το πόσο πιο γρήγορος είναι. Συγχαρητήρια Zeno, κάνατε την κίνηση να ακούγεται παράλογη.

Τα παράδοξα του Ζήνο πιστεύεται ότι υπήρχαν στη σφαίρα της μεταφυσικής και των προβληματικών φιλοσόφων και μαθηματικών για αιώνες, αλλά σήμερα μπορούν να εξηγηθούν με τον λογισμό, ένα μαθηματικό εργαλείο που δεν είχαν οι Έλληνες. Ας “προχωρήσουμε” τότε.

4. Λωρίδα Möbius

Μια ταινία Möbius από μόνη της

Η αστεία ταινία Möbius, η οποία επίσης ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα το 1858 από την άτυχη λίστα, το όνομα της οποίας άφησε την ιστορία των μαθηματικών ανέγγιχτη, είναι μια επιφάνεια με μία μόνο πλευρά και μόνο ένα όριο, που χρησιμοποιείται συχνά για παζλ νέους μαθητές μαθηματικών.

Μπορείτε εύκολα να το δημιουργήσετε λαμβάνοντας μια λωρίδα χαρτιού, στρίβοντας το και έπειτα ενώνοντας τα άκρα της ταινίας.

Όντας το πρώτο παράδειγμα μιας επιφάνειας χωρίς προσανατολισμό, δεν κούνησε τους λόγους των μαθηματικών όσο οι άλλες ανακαλύψεις αυτής της λίστας, αλλά παρείχε πολλές πρακτικές εφαρμογές, όπως μια ανθεκτική ζώνη, και ενέπνευσε τους μαθηματικούς να βρουν μη προσανατολισμένες επιφάνειες, όπως το μπουκάλι Klein. (Το όνομα αυτής της επιφάνειας προέρχεται πιθανώς από μια διπλή σύμπτωση: ο Klein, ο σχεδιαστής του, το ονόμασε αρχικά Fläche, που σημαίνει επιφάνεια στα γερμανικά και μοιάζει με το Flasche, που σημαίνει μπουκάλι. Το γεγονός ότι έμοιαζε επίσης με ένα μπουκάλι φαίνεται να έχει σφράγισε την μετονομασία).

5. Η αρίθμηση των πραγματικών αριθμών του Cantor

Αντιμετωπίζοντας το άπειρο που είναι ήδη έλξη, ο Cantor απέδειξε το 1874 ότι στην πραγματικότητα υπάρχουν διαφορετικά είδη απείρου. Συγκεκριμένα, αποδεικνύοντας την αρίθμηση των πραγματικών αριθμών, ο Cantor απέδειξε ότι αυτό το σετ είναι μεγαλύτερο από το ήδη άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών.

Το 1891, παρείχε επίσης το διαγώνιο επιχείρημα, μια απόδειξη τόσο κομψή που αργότερα υιοθετήθηκε ως εργαλείο για να αποδειχθεί με τη χρήση ενός παράδοξου. Η παρατήρησή του γέννησε τη θεωρία των βασικών αριθμών, καθώς και τα παράδοξα που ασχολούνται με το ερώτημα: πόσα άπειρα μπορείτε να χειριστείτε;

6. Το παράδοξο του Ράσελ

Ο Bertrand Russell ήταν μαθηματικός, φιλόσοφος, λογικός, μαθηματικός, ιστορικός, συγγραφέας, κοινωνικός κριτικός, πολιτικός ακτιβιστής και, κατά τη γνώμη μου, μια προσωπικότητα που αξίζει να μελετήσει και να εμπνεύσει τον εαυτό του.

Το 1901 ο Ράσελ ανακάλυψε ένα αδύνατο σημείο στην μέχρι τώρα καθιερωμένη θεωρία του Καντόρ, η οποία τον οδήγησε σε μια αντίφαση που ο μαθηματικός κόσμος δεν μπορούσε να επιβλέψει. Σύμφωνα με αυτήν τη θεωρία, οποιαδήποτε συλλογή πραγμάτων μπορεί να είναι ένα σύνολο.

Το αντιφατικό παράδειγμα του Russell, που ονομάζεται επίσης παράδοξο του κουρέα, έχει ως εξής: φανταστείτε μια πόλη που έχει έναν ειδικό κανόνα. κάθε άνθρωπος που δεν ξυρίζεται από τον εαυτό του πρέπει να ξυριστεί από τον κουρέα της πόλης. Η αμήχανη ερώτηση, την οποία μπορείτε να προσπαθήσετε να απαντήσετε, είναι: ποιος ξυρίζει το κουρείο;

Αυτή η ανακάλυψη τον οδήγησε στην αμφισβήτηση των απλών θεμελίων της προηγούμενης θεωρίας συνόλων και η δημιουργία μιας νέας, η οποία ήταν πιο περίπλοκη από την προτεινόμενη θεωρία σετ Zermelo-Fraenkel, δεν προχώρησε.

7. Θεώματα για την ατελή εκτέλεση του Gödel

Kurt Gödel ο λογικός, μαθηματικός και φιλόσοφος που συγκλόνισε τους λόγους των μαθηματικών και της λογικής τον 19ο αιώνα.

Εάν τα προηγούμενα γεγονότα φάνηκαν να δημιουργούν ελαφρώς άβολες στιγμές, περιμένετε την ακόλουθη αμήχανη χελώνα (και αυτό είναι χειρότερο από αυτό του Αχιλλέα).

Μιλάμε για τον 20ο αιώνα. Οι άνθρωποι δεν ήθελαν απλώς να μάθουν. Ήθελαν να μάθουν αν είναι δυνατόν να το γνωρίζουν και να το αποδείξουν. Δυστυχώς για αυτούς, και για την ανθρώπινη ανάγκη για κατανόηση του σύμπαντος, ο Gödel δημοσίευσε το 1931 δύο θεωρήματα, γνωστά ως θεωρήματα ελλιπούς.

Η εξήγηση των τεχνικών τους είναι τόσο δύσκολη όσο συμβαίνει με τα συμπεράσματά τους, καθώς αυτό που απέδειξε ο Gödel ήταν ότι, λαμβάνοντας υπόψη ένα συνεπές και πλήρες σύστημα, όπως η γλώσσα της αριθμητικής, υπάρχουν δηλώσεις που είναι αληθινές και δεν μπορούν να αποδειχθούν. Επεσήμανε την αλήθεια του θεωρήματος του με αυτήν την απλή δήλωση, εμπνευσμένη από το παράδοξο του ψεύτη: «Αυτή η δήλωση δεν μπορεί να αποδειχθεί». Εάν αυτό ισχύει, τότε αυτή η δήλωση είναι αληθινή και δεν μπορεί να αποδειχθεί. Εάν αυτό είναι ψευδές, τότε αυτή η δήλωση μπορεί να αποδειχθεί, η οποία έρχεται σε αντίθεση με το αρχικό επιχείρημα ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί.

Αυτά ήταν πολύ άσχημα νέα για τα μαθηματικά, στερώντας τους από το αρχικό τους φως για να εξηγήσουν την απόλυτη αλήθεια. Ήταν επίσης μια τρομερή επιστροφή στην αναζήτηση της γνώσης του Χίλμπερτ, που εκφράστηκε στη δήλωσή του «Πρέπει να ξέρουμε, θα ξέρουμε».

8. Το θεώρημα του Απροσδιόριστου Tarski

Φαίνεται ότι ο Τάρσκι εμπνεύστηκε από την απελπισία που δημιούργησε ο Γκέιντλ Το 1936 παρείχε αποδείξεις για το πρόβλημα του αόριστου χαρακτήρα.

Αν και οι παρατηρήσεις του Tarski περιλαμβάνονται επίσης στο έργο του Gödel, υποστηρίζεται ότι το έργο του Tarski έχει πιο βαθιά φιλοσοφική επίδραση. Ο Τάρσκι κατάφερε να καταλήξει στο γενικό συμπέρασμα ότι μια γλώσσα δεν μπορεί να ορίσει την αλήθεια από μόνη της. Αν και αυτός είναι ένας σημαντικός περιορισμός, προτείνει ότι η χρήση μιας πιο ισχυρής μετα-γλώσσας αρκεί για τον ορισμό της αλήθειας στην απλούστερη γλώσσα.

Τώρα, ένα συνηθισμένο άτομο μπορεί να πιστεύει ότι αυτό λύνει το πρόβλημα, αλλά για έναν μαθηματικό που ψάχνει για τη «μία γλώσσα για να τα κυβερνά όλα», αυτό δεν είναι τόσο παρηγορητικό.

9. Το πρόβλημα διακοπής

Ο Alan Turing προσπάθησε να αντιμετωπίσει το πρόβλημα της απόφασης, το οποίο, με απλά λόγια, ασχολήθηκε με την εύρεση ενός αλγορίθμου που μπορεί να απαντήσει εάν μια δήλωση είναι αληθινή ή όχι. Για να αντιμετωπίσει αυτό το εννοιολογικά απλό, αλλά δύσκολο να λυθεί πρόβλημα, το επαναδιατύπωσε στο πρόβλημα διακοπής: υπάρχει μια μηχανή που μπορεί να σας πει εάν ένα πρόγραμμα θα σταματήσει σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα;

Η διακοπή σημαίνει ότι δεν θα βγει για πάντα. Αλλά πώς αποδεικνύετε την αδυναμία μιας μηχανής που γνωρίζετε τόσο λίγα; Εδώ είναι τα παράδοξα χρήσιμα.

Ο Άλαν Τούρινγκ ξεκίνησε υποθέτοντας την ύπαρξη μιας μηχανής που έδωσε ένα πρόγραμμα εισόδου και ένα πρόβλημα απαντά στο ερώτημα αν θα σταματήσει ή όχι. Στη συνέχεια αύξησε αυτό το μηχάνημα βάζοντας ξανά την έξοδο στον εαυτό του εάν η απάντηση ήταν ναι και σταματώντας εάν η απάντηση ήταν όχι.

Λοιπόν, η επαυξημένη μηχανή θα σταματήσει στο πρόβλημα διακοπής; Η απάντηση του Άλαν είναι: αν ναι τότε όχι, αν όχι τότε ναι. Ακούγεται άσχημα νέα για λογική.

10. Το θεώρημα χωρίς δωρεάν γεύμα

Το πέρασμα στον 21ο αιώνα σηματοδότησε μια μεταφορά από καθαρά, σχεδόν φιλοσοφικά μαθηματικά, σε εφαρμοσμένους τομείς, όπως στατιστικά και βελτιστοποίηση.

Εάν θεωρείτε ότι σας αρέσει η βελτιστοποίηση, δεν νομίζετε ότι αυτό θα σας κάνει τελειομανείς; Και δεν θα ήθελε ένας τελειομανής να βρει τον βέλτιστο τρόπο βελτιστοποίησης των πραγμάτων;

Φαίνεται ότι ο Ντέιβιντ Γουόλπερτ και ο Γουίλιαμ Μακ έχουν ήδη αντιληφθεί αυτήν την ανάγκη και βρήκαν μια απάντηση, η οποία, φυσικά, δεν ήταν καθόλου ενθαρρυντική (διαφορετικά δεν θα ήταν στη λίστα μας). Σύμφωνα με το θεώρημα «Χωρίς δωρεάν μεσημεριανό γεύμα» για τη Βελτιστοποίηση, που δημοσιεύθηκε το 1997, «οι δύο αλγόριθμοι βελτιστοποίησης είναι ισοδύναμοι όταν η απόδοσή τους υπολογίζεται κατά μέσο όρο σε όλα τα πιθανά προβλήματα».

Αυτό που μπορεί να είναι σπασμένο, δεν σημαίνει ότι η βελτιστοποίηση είναι μάταιη. Δεν θα βρούμε ποτέ έναν βέλτιστο τρόπο για να το κάνουμε.

Αυτές οι στιγμές έκαναν τον κόσμο των μαθηματικών να νιώθει άβολα, που είναι ένας ελαφρύς όρος για τα συναισθήματα της απελπισίας και του χάους που οι επιστήμονες τείνουν να βιώνουν όταν το σύμπαν σταματά να έχει νόημα. Αλλά το σοκ είναι ο τρόπος να προχωρήσουμε την επιστήμη.

Δημιουργήθηκαν μαθηματικά πεδία, έχουμε το Turing Machine, φανταχτερές επιφάνειες και, το πιο σημαντικό, την ικανότητα να επανεξετάσουμε τις αντιλήψεις μας και να προσαρμόσουμε ανάλογα τα εργαλεία μας.

Αυτές οι στιγμές αμφισβήτησης μάς βοήθησαν να εξελιχθούμε διανοητικά.

Εκτός από τα θεωρήματα ελλιπούς. Αυτά ήταν απλά καταστροφικά.