QC - Ελέγξτε τον κβαντικό υπολογισμό με ενιαίους χειριστές, παρεμβολές και εμπλοκή

Φωτογραφία από τον Sagar Dani

Μεγάλος. Μόλις ολοκληρώσαμε το Μέρος 2 στο Qubit (Quantum bit - το βασικό δομικό στοιχείο για τον κβαντικό υπολογισμό). Λοιπόν, πώς μπορούμε να το ελέγξουμε; Σε αντίθεση με την κλασική πληροφορική, δεν εφαρμόζουμε λογικές λειτουργίες ή κοινές αριθμητικές ουσίες στα qubits. Δεν υπάρχει «δήλωση ενώ υπάρχει» ή «δήλωση διακλάδωσης» στον κβαντικό υπολογισμό. Αντ 'αυτού, αναπτύσσουμε ενιαίους χειριστές για τον χειρισμό των qubits με την αρχή της παρέμβασης στην κβαντική μηχανική. Ήχος φανταχτερός αλλά στην πραγματικότητα πολύ απλός. Θα εξετάσουμε την έννοια των ενιαίων χειριστών. Ως δευτερεύουσα σημείωση, θα εξετάσουμε τη σχέση της με την εξίσωση Schrodinger, οπότε δεν σχεδιάζουμε μια ιδέα ενάντια στη φύση. Επιτέλους, εξετάζουμε την εμπλοκή, ένα μυστικιστικό κβαντικό φαινόμενο.

Κβαντικές πύλες

Στους κλασικούς υπολογιστές, εφαρμόζουμε βασικούς λογικούς τελεστές (NOT, NAND, XOR, AND, OR) σε bits για τη δημιουργία σύνθετων λειτουργιών. Για παράδειγμα, το ακόλουθο είναι ένας αθροιστής bit με μεταφορά.

Οι κβαντικοί υπολογιστές έχουν εντελώς διαφορετικούς βασικούς τελεστές που ονομάζονται κβαντικές πύλες. Δεν ανακατασκευάζουμε ένα υπάρχον πρόγραμμα C ++ για εκτέλεση σε έναν κβαντικό υπολογιστή. Και οι δύο έχουν διαφορετικούς τελεστές και ο κβαντικός υπολογισμός απαιτεί διαφορετικούς αλγόριθμους για να επωφεληθούν από αυτούς. Στην κβαντική υπολογιστική, έχει να κάνει με το χειρισμό των qubits, την εμπλοκή τους και τη μέτρησή τους. Ας επιστρέψουμε στη σφαίρα Bloch. Εννοιολογικά, οι κβαντικές υπολογιστικές λειτουργίες χειρίζονται τα Φ και θ της υπέρθεσης για να κινούν σημεία κατά μήκος της επιφάνειας της σφαίρας μονάδας.

Μαθηματική ομιλία, η υπέρθεση χειρίζεται με έναν γραμμικό τελεστή U με τη μορφή μήτρας.

Για ένα μόνο qubit, ο χειριστής είναι απλά ένας πίνακας 2 × 2.

Εξίσωση Schrodinger (προαιρετικό)

Η φύση φαίνεται αφελής απλή! Τα μαθηματικά είναι απλά γραμμική άλγεβρα που μαθαίνουμε στο γυμνάσιο. Μεταξύ των μετρήσεων, οι καταστάσεις χειρίζονται από γραμμικούς τελεστές χρησιμοποιώντας πολλαπλασιασμό μήτρας. Όταν μετριέται, η υπέρθεση καταρρέει. Κατά ειρωνικό τρόπο, η γραμμικότητα είναι μια μεγάλη απογοήτευση για τους οπαδούς της επιστημονικής φαντασίας. Αυτή είναι μια γενική ιδιότητα της κβαντικής δυναμικής. Διαφορετικά, το ταξίδι στο χρόνο ή το ταξίδι πιο γρήγορα από το φως είναι εφικτό. Εάν ξεκινήσουμε με αυτόν τον γραμμικό τελεστή (ένας ενιαίος τελεστής είναι ακριβής), μπορούμε να αντλήσουμε την εξίσωση Schrodinger, έναν ακρογωνιαίο λίθο της κβαντικής μηχανικής στην περιγραφή του τρόπου με τον οποίο οι καταστάσεις εξελίσσονται στην κβαντική μηχανική. Από την αντίθετη προοπτική, η εξίσωση Schrodinger καταλήγει στο συμπέρασμα της γραμμικότητας της φύσης.

Πηγή

Εδώ, μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση Schrodinger ως

όπου ο Η είναι Ερμιτής. Δείχνει πώς οι καταστάσεις εξελίσσονται στη φύση γραμμικά.

Η εξίσωση είναι γραμμική, δηλαδή εάν και οι ψ1 και ψ2 είναι έγκυρες λύσεις για την εξίσωση Schrodinger,

Ο γραμμικός συνδυασμός του είναι η γενική λύση της εξίσωσης.

Εάν τα | 0⟩ και | 1⟩ είναι πιθανές καταστάσεις ενός συστήματος, ο γραμμικός συνδυασμός του θα είναι η γενική του κατάσταση - αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης στον κβαντικό υπολογισμό.

Ενιαία

Ο φυσικός μας κόσμος δεν επιτρέπει σε όλους τους πιθανούς γραμμικούς τελεστές. Ο χειριστής πρέπει να είναι ενιαίος και να πληροί τις ακόλουθες απαιτήσεις.

όπου το U † είναι το μεταφερόμενο, πολύπλοκο σύζευγμα του U. Για παράδειγμα:

Μαθηματικά, ο ενιαίος χειριστής διατηρεί κανόνες. Αυτή είναι μια θαυμάσια ιδιότητα για να διατηρηθεί η συνολική πιθανότητα ίση με αυτήν μετά τον μετασχηματισμό της κατάστασης και να διατηρηθεί η υπέρθεση στην επιφάνεια της σφαίρας μονάδας.

Αν κοιτάξουμε τη λύση για την εξίσωση Schrodinger παρακάτω, η φύση υπακούει στον ίδιο ενιαίο κανόνα. Το H είναι ένας Ερμιτής (το σύμπλοκο που έχει μεταφερθεί στο σύμπλεγμα ενός Ερμιτικού ισούται με τον εαυτό του). Ο πολλαπλασιασμός του χειριστή με το σύνθετο σύμπλεγμα που έχει μεταφερθεί ισούται με τον πίνακα ταυτότητας.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα Η όπου υπάρχει ένα ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο E₀ στην κατεύθυνση z.

Η εφαρμογή της ενιαίας λειτουργίας σε | ψ⟩ οδηγεί σε περιστροφή στον άξονα z.

Αλλά ποια είναι η πραγματική έννοια της ενότητας στον πραγματικό κόσμο; Αυτό σημαίνει ότι οι λειτουργίες είναι αναστρέψιμες. Για οποιαδήποτε πιθανή λειτουργία, υπάρχει μια άλλη που μπορεί να αναιρέσει τη δράση. Ακριβώς όπως παρακολουθείτε μια ταινία, μπορείτε να την παίξετε προς τα εμπρός και η φύση επιτρέπει στον ομόλογό του U U να αναπαράγει το βίντεο προς τα πίσω. Πράγματι, μπορεί να μην παρατηρήσετε αν αναπαράγετε το βίντεο προς τα εμπρός ή προς τα πίσω. Σχεδόν όλοι οι φυσικοί νόμοι είναι αναστρέψιμοι στο χρόνο. Οι λίγες εξαιρέσεις περιλαμβάνουν τη μέτρηση της κβαντικής δυναμικής και τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής. Κατά το σχεδιασμό ενός κβαντικού αλγορίθμου, αυτό είναι πολύ σημαντικό. Η αποκλειστική λειτουργία OR (XOR) σε έναν κλασικό υπολογιστή δεν είναι αναστρέψιμη. Οι πληροφορίες χάνονται. Δεδομένης της εξόδου 1, δεν μπορούμε να διακρίνουμε εάν η αρχική είσοδος είναι (0, 1) ή (1, 0).

Στην κβαντική υπολογιστική, καλούμε τους τελεστές ως κβαντικές πύλες. Όταν σχεδιάζουμε μια κβαντική πύλη, σιγουρευόμαστε ότι είναι ενιαία, δηλαδή θα υπάρχει μια άλλη κβαντική πύλη που μπορεί να αντιστρέψει την κατάσταση πίσω στην αρχική της. Αυτό είναι σημαντικό από τότε

εάν ένας χειριστής είναι ενιαίος, μπορεί να εφαρμοστεί σε έναν κβαντικό υπολογιστή.

Μόλις αποδειχθεί η μονάδα, οι μηχανικοί δεν θα πρέπει να έχουν προβλήματα για την εφαρμογή τους, τουλάχιστον θεωρητικά. Για παράδειγμα, οι υπολογιστές IBM Q, που αποτελούνται από υπεραγωγικά κυκλώματα, χρησιμοποιούν παλμούς μικροκυμάτων διαφορετικής συχνότητας και διάρκειας για τον έλεγχο των qubits κατά μήκος της επιφάνειας της σφαίρας Bloch.

Για να επιτύχουμε ενιαία, μερικές φορές εξάγουμε μέρος της εισόδου για να ικανοποιήσουμε αυτήν την απαίτηση, όπως αυτή που ακολουθεί ακόμη και φαίνεται περιττή.

Ας δούμε μια από τις πιο κοινές κβαντικές πύλες, την πύλη Hadamard την οποία ο γραμμικός τελεστής ορίζεται ως ο ακόλουθος πίνακας.

ή στη σημειογραφία Dirac

Όταν εφαρμόζουμε τον χειριστή σε κατάσταση άνω-περιστροφής ή κάτω-περιστροφής, αλλάζουμε τις υπερθέσεις σε:

Εάν μετρηθεί, και οι δύο έχουν ίσες πιθανότητες να περιστραφούν προς τα πάνω ή να περιστραφούν προς τα κάτω. Εάν εφαρμόσουμε ξανά την πύλη, επιστρέφει στην αρχική κατάσταση.

Πηγή

δηλαδή, το μεταφερόμενο συζυγές του Hadamard είναι η ίδια η πύλη Hadamard.

Όταν εφαρμόζουμε UU †, επαναφέρεται στην αρχική είσοδο.

Επομένως, η πύλη Hadamard είναι ενιαία.

Ο κβαντικός υπολογισμός βασίζεται σε παρεμβολές και εμπλοκές. Παρόλο που μπορούμε να κατανοήσουμε μαθηματικά τον κβαντικό υπολογισμό χωρίς να καταλάβουμε αυτά τα φαινόμενα, ας το δείξουμε γρήγορα.

Παρέμβαση

Τα κύματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους εποικοδομητικά ή καταστροφικά. Για παράδειγμα, η έξοδος μπορεί να μεγεθυνθεί ή να ισοπεδωθεί ανάλογα με τη σχετική φάση των κυμάτων εισόδου.

Ποιος είναι ο ρόλος των παρεμβολών στην κβαντική πληροφορική; Ας εκτελέσουμε μερικά πειράματα.

Παρεμβολόμετρο Mach Zehnder (πηγή)

Στο πρώτο πείραμα, προετοιμάζουμε όλα τα εισερχόμενα φωτόνια να έχουν κατάσταση πόλωσης | 0⟩. Αυτή η ροή πολωμένων φωτονίων χωρίζεται ομοιόμορφα από τη θέση διαχωριστή δέσμης Β στους 45 °, δηλαδή θα χωριστεί η δέσμη σε δύο ορθογώνια πολωμένα φώτα και θα βγεί σε ξεχωριστές διαδρομές. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε καθρέφτες για να αντικατοπτρίσουμε τα φωτόνια σε δύο ξεχωριστούς ανιχνευτές και να μετρήσουμε την ένταση. Από την προοπτική της κλασικής μηχανικής, τα φωτόνια χωρίζονται σε δύο ξεχωριστές διαδρομές και χτυπούν ομοιόμορφα τους ανιχνευτές.

Στο δεύτερο πείραμα παραπάνω, βάζουμε έναν άλλο διαχωριστή δέσμης στους ανιχνευτές. Με διαίσθηση, οι διαχωριστές δέσμης λειτουργούν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο και διαχωρίζουν ένα ρεύμα φωτός σε δύο μισά. Και οι δύο ανιχνευτές πρέπει να ανιχνεύουν τις μισές δέσμες φωτός. Η πιθανότητα φωτονίου να φτάσει στον ανιχνευτή D₀ χρησιμοποιώντας την 1-διαδρομή με κόκκινο χρώμα είναι:

Η συνολική πιθανότητα ενός φωτονίου να φτάσει στο D₀ είναι 1/2 είτε από 1 διαδρομή είτε από 0. Και οι δύο ανιχνευτές ανιχνεύουν το μισό από τα φωτόνια.

Αλλά αυτό δεν ταιριάζει με το πειραματικό αποτέλεσμα! Μόνο το D₀ ανιχνεύει φως. Ας μοντελοποιήσουμε την κατάσταση μετάβασης για διαχωριστή δέσμης με πύλη Hadamard. Έτσι, για το πρώτο πείραμα, η κατάσταση του φωτονίου μετά τον διαχωριστή είναι

Όταν μετρηθεί, τα μισά από αυτά θα είναι | 0⟩ και τα μισά από αυτά θα είναι | 1⟩. Οι φωτεινές ακτίνες χωρίζονται ομοιόμορφα σε δύο διαφορετικές διαδρομές. Έτσι, η πύλη Hadamard θα ταιριάζει με τον κλασικό υπολογισμό. Αλλά ας δούμε τι συνέβη στο δεύτερο πείραμα. Όπως δείχνεται προηγουμένως, εάν προετοιμάσουμε όλα τα φωτόνια εισόδου για να είναι | 0⟩ και τα περάσουμε σε δύο πύλες Hadamard, όλα τα φωτόνια θα είναι | 0⟩ ξανά. Έτσι, όταν μετριέται, μόνο το D₀ θα ανιχνεύσει τη δέσμη φωτός. Κανένας δεν θα φτάσει στο D₁ εφ 'όσον δεν κάνουμε καμία μέτρηση πριν από τους δύο ανιχνευτές. Τα πειράματα επιβεβαιώνουν ότι ο κβαντικός υπολογισμός είναι σωστός και όχι ο κλασικός υπολογισμός. Ας δούμε πώς η παρέμβαση παίζει ρόλο εδώ στη δεύτερη πύλη Hadamard.

Όπως φαίνεται παρακάτω, τα στοιχεία της ίδιας βάσης υπολογισμού παρεμβαίνουν εποικοδομητικά ή καταστρεπτικά μεταξύ τους για να παράγουν το σωστό πειραματικό αποτέλεσμα.

Μπορούμε να προετοιμάσουμε τη δέσμη φωτονίων εισόδου για να είναι | 1⟩ και να επαναλάβουμε τον υπολογισμό ξανά. Η κατάσταση μετά τον πρώτο διαχωριστή είναι διαφορετική από την αρχική κατά μία φάση π. Αν λοιπόν μετρήσουμε τώρα, και τα δύο πειράματα θα κάνουν τις ίδιες μετρήσεις.

Ωστόσο, όταν εφαρμόζετε ξανά την πύλη Hadamard, κάποιος θα παράγει | 0⟩ και ένας θα παράγει | 1⟩. Η παρέμβαση παράγει πολύπλοκες δυνατότητες.

Επιτρέψτε μου να κάνω ένα ακόμη διασκεδαστικό πείραμα που έχει πολύ σημαντική επίπτωση στην κυβερνοασφάλεια.

Εάν βάλουμε έναν άλλο ανιχνευτή Dx μετά τον πρώτο διαχωριστή, το πείραμα δείχνει ότι και οι δύο ανιχνευτές θα ανιχνεύσουν τώρα τα μισά από τα φωτόνια. Αυτό ταιριάζει με τον υπολογισμό στην κβαντομηχανική; Στην παρακάτω εξίσωση, όταν προσθέτουμε μια μέτρηση μετά τον πρώτο διαχωριστή, επιβάλουμε μια κατάρρευση στην υπέρθεση. Το τελικό αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικό από ένα χωρίς τον πρόσθετο ανιχνευτή και θα ταιριάζει με το πειραματικό αποτέλεσμα.

Η φύση μας λέει ότι αν γνωρίζετε ποια διαδρομή ακολουθεί το φωτονίο, και οι δύο ανιχνευτές θα ανιχνεύσουν τα μισά από τα φωτόνια. Στην πραγματικότητα, μπορούμε να το επιτύχουμε με έναν μόνο ανιχνευτή σε μία από τις διαδρομές μόνο. Εάν δεν γίνει μέτρηση πριν από τους δύο ανιχνευτές, όλα τα φωτόνια καταλήγουν στον ανιχνευτή D₀ εάν το φωτονίο είναι έτοιμο να είναι | 0⟩. Και πάλι, η διαίσθηση μας οδηγεί σε λάθος συμπέρασμα, ενώ οι κβαντικές εξισώσεις παραμένουν αξιόπιστες.

Αυτό το φαινόμενο έχει μια κρίσιμη επίπτωση. Η πρόσθετη μέτρηση καταστρέφει την αρχική παρέμβαση στο παράδειγμά μας. Η κατάσταση ενός συστήματος αλλάζει μετά από μια μέτρηση. Αυτό είναι ένα από τα βασικά κίνητρα πίσω από την κβαντική κρυπτογραφία. Μπορείτε να σχεδιάσετε έναν αλγόριθμο έτσι ώστε εάν ένας χάκερ παρεμποδίσει (μετρήσει) το μήνυμα μεταξύ εσάς και του αποστολέα, μπορείτε να εντοπίσετε τέτοια εισβολή ανεξάρτητα από το πόσο ήπια μπορεί να είναι η μέτρηση. Επειδή το μοτίβο της μέτρησης θα είναι διαφορετικό εάν υποκλαπεί. Το θεώρημα μη-κλωνοποίησης στην κβαντική μηχανική ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί κανείς να αντιγράψει μια κβαντική κατάσταση ακριβώς. Έτσι, ο εισβολέας δεν μπορεί να αντιγράψει και να ξαναστείλει το αρχικό μήνυμα.

Πέρα από την κβαντική προσομοίωση

Εάν είστε φυσικός, μπορείτε να επωφεληθείτε από τη συμπεριφορά παρεμβολών σε κβαντικές πύλες για να προσομοιώσετε τις ίδιες παρεμβολές στους ατομικούς κόσμους. Οι κλασικές μέθοδοι λειτουργούν με τη θεωρία πιθανότητας με τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με μηδέν. Υποθέτει ανεξαρτησία που δεν ισχύει στα πειράματα.

Ο κβαντικός μηχανισμός ισχυρίζεται ότι αυτό το μοντέλο είναι λάθος και εισάγει ένα μοντέλο με πολύπλοκους και αρνητικούς αριθμούς. Αντί να χρησιμοποιεί τη θεωρία πιθανότητας, χρησιμοποιεί παρεμβολές για να μοντελοποιήσει το πρόβλημα.

Λοιπόν, τι καλό φέρνει για τους μη φυσικούς; Η παρεμβολή μπορεί να αντιμετωπιστεί με τον ίδιο μηχανισμό με έναν ενιαίο χειριστή. Μπορεί να εφαρμοστεί εύκολα σε έναν κβαντικό υπολογιστή. Μαθηματικά, ο ενιαίος τελεστής είναι ένας πίνακας. Καθώς ο αριθμός των qubits αυξάνεται, έχουμε μια εκθετική αύξηση των συντελεστών με τους οποίους μπορούμε να παίξουμε. Αυτός ο ενιαίος χειριστής (παρέμβαση στο μάτι του Φυσικού) μας επιτρέπει να χειριστούμε όλους αυτούς τους συντελεστές σε μία μόνο λειτουργία που ανοίγει την πόρτα για μαζικούς χειρισμούς δεδομένων.

Μπλέξιμο

Γενικά, οι επιστήμονες πιστεύουν ότι χωρίς εμπλοκή, οι κβαντικοί αλγόριθμοι δεν μπορούν να δείξουν υπεροχή έναντι των κλασικών αλγορίθμων. Δυστυχώς, δεν καταλαβαίνουμε καλά τους λόγους και επομένως, δεν ξέρουμε πώς να προσαρμόσουμε έναν αλγόριθμο για να επωφεληθούμε από το πλήρες δυναμικό του. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η εμπλοκή αναφέρεται συχνά κατά την εισαγωγή κβαντικών υπολογιστών αλλά όχι πολύ αργότερα. Για αυτόν τον λόγο, θα εξηγήσουμε τι εμπλέκεται σε αυτήν την ενότητα. Ελπίζω ότι είστε ο επιστήμονας για να σπάσετε το μυστικό.

Εξετάστε την υπέρθεση ενός 2-qubit.

όπου | 10> σημαίνει ότι δύο σωματίδια βρίσκονται σε περιστροφή προς τα κάτω και προς τα πάνω.

Εξετάστε την ακόλουθη σύνθετη κατάσταση:

Μπορούμε να χωρίσουμε τη σύνθετη κατάσταση σε δύο μεμονωμένες καταστάσεις όπως,

Δεν μπορούμε γιατί απαιτεί:

Η κβαντομηχανική δείχνει μια μη διαισθητική ιδέα. Στην κλασική μηχανική, πιστεύουμε ότι η κατανόηση ολόκληρου του συστήματος μπορεί να γίνει κατανοώντας καλά κάθε υπο-συστατικό. Αλλά στην κβαντική μηχανική,

Όπως φαίνεται παραπάνω, μπορούμε να μοντελοποιήσουμε τη σύνθετη κατάσταση και να κάνουμε τις προβλέψεις μέτρησης τέλεια.

Όμως, δεν μπορούμε να το περιγράψουμε ή να το κατανοήσουμε ως δύο ανεξάρτητα συστατικά.

Φαντάζομαι αυτό το σενάριο ως ζευγάρι παντρεμένο για 50 χρόνια. Θα συμφωνούν πάντα για το τι να κάνουν, αλλά δεν μπορείτε να βρείτε τις απαντήσεις όταν τις αντιμετωπίζετε ως ξεχωριστά άτομα. Αυτό είναι ένα υπερβολικά απλοποιημένο σενάριο. Υπάρχουν πολλές πιθανές καταστάσεις εμπλοκής

και θα είναι πολύ πιο δύσκολο να τα περιγράψουμε όταν αυξάνεται ο αριθμός των qubits. Κατά την εκτέλεση κβαντικών λειτουργιών, γνωρίζουμε πώς συσχετίζονται τα συστατικά (μπλέκονται). Αλλά πριν από οποιαδήποτε μέτρηση, οι ακριβείς τιμές παραμένουν ανοιχτές. Το Entanglement παράγει συσχετισμούς που είναι πολύ πιο πλούσιοι και πιθανότατα πολύ πιο δύσκολο για έναν κλασικό αλγόριθμο να μιμείται αποτελεσματικά.

Επόμενο

Τώρα, ξέρουμε πώς να χειριζόμαστε qubits με ενιαίες λειτουργίες. Αλλά για όσους ενδιαφέρονται για τους κβαντικούς αλγόριθμους, πρέπει να γνωρίζουμε πρώτα ποιος είναι ο περιορισμός. Διαφορετικά, μπορεί να αγνοήσετε ποια πράγματα είναι δύσκολα στον κβαντικό υπολογισμό. Αλλά για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα για την κβαντική πύλη πρώτα, μπορείτε να διαβάσετε το δεύτερο άρθρο πριν από το πρώτο.